Question

1．在正三棱柱中，CC₁=BC，点F是BC的中点，点 H在线段B₁B 上运动．
（1）请在图中绘制平面AFH，使 FC₁⊥平面AFH，说明点H的位置．
（2）在（1）问的条件下，求平面AFH与平面AA₁B₁B 所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）过H作FH⊥C₁F交BB₁于H，连接AH，AF，C₁H．则平面AFH即为所要作的平面．设AB=1，HB=x，利用勾股定理列方程解出x即可判断H的位置；
（2）以F为原点建立坐标系，则$\overrightarrow{F{C}_{1}}$为平面AFH的法向量，取AB中点D，则$\overrightarrow{DC}$为平面AA₁B₁B 的法向量，求出cos＜$\overrightarrow{DC}，\overrightarrow{F{C}_{1}}$＞，则二面角的正弦值为$\sqrt{1-co{s}^{2}＜\overrightarrow{DC}，\overrightarrow{F{C}_{1}}＞}$．

解答 解：（1）过F作FH⊥C₁F交BB₁于H，连接AH，AF，C₁H．则平面AFH即为所要作的平面．
∵FC₁⊥平面AFH，FH?平面AFH，
∴C₁F⊥FH，
设HB=x，BC=CC₁=1，则B₁H=1-x，B₁C₁=1，BF=CF=$\frac{1}{2}$
∴FH²=HB²+BF²=x²+$\frac{1}{4}$，C₁F²=CC₁²+CF²=$\frac{5}{4}$，
C₁H²=B₁C₁²+B₁H²=x²-2x+2．
∵C₁F⊥FH，
∴C₁H²=HF²+C₁F²，即x²-2x+2=x²+$\frac{1}{4}$+$\frac{5}{4}$，解得x=$\frac{1}{4}$．
∴H为BB₁靠近B的四等分点．
（2）设B₁C₁的中点为E，则EF⊥平面ABC．
以F为原点，以FA，FB，FE为坐标轴建立空间直角坐标系，如图所示，
则F（0，0，0），C₁（0，-$\frac{1}{2}$，1），A（$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0，0），
B（0，$\frac{1}{2}$，0），C（0，-$\frac{1}{2}$，0）．
∵C₁F⊥平面AFH，∴平面AFH的一个法向量为$\overrightarrow{F{C}_{1}}$=（0，-$\frac{1}{2}$，1），
取AB的中点D，连接CD，则CD⊥AB，
∵AA₁⊥平面ABC，CD?平面ABC，∴AA₁⊥CD．
又AA₁∩AB=A，AA₁?平面ABB₁A₁，AB?平面ABB₁A₁，
∴CD⊥平面ABB₁A₁．
∵D是AB的中点，∴D（$\frac{\sqrt{3}}{4}$，$\frac{1}{4}$，0）．∴$\overrightarrow{DC}$=（-$\frac{\sqrt{3}}{4}$，-$\frac{3}{4}$，0）为平面ABB₁A₁的一个法向量．
∴cos＜$\overrightarrow{DC}，\overrightarrow{F{C}_{1}}$＞=$\frac{\overrightarrow{DC}•\overrightarrow{F{C}_{1}}}{|\overrightarrow{DC}||\overrightarrow{F{C}_{1}}|}$=$\frac{\frac{3}{8}}{\frac{\sqrt{3}}{2}•\frac{\sqrt{5}}{2}}$=$\frac{\sqrt{15}}{10}$．
∴平面AFH与平面AA₁B₁B 所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{85}}{10}$．

点评 本题考查了线面垂直的性质，空间向量与二面角的计算，属于中档题．