Question

6．直线L过点M（2，1），且分别与X，Y正半轴轴交于A，B两点．O为原点，
（1）求△AOB面积最小时直线L的方程
（2）|MA|•|MB|取最小值时L的方程．

Answer 1

分析 （1）可设出直线的方程令y=0和x=0求出A和B两点坐标，然后表示出面积的关系式，求出面积最小时k的值，然后代入得到直线l的方程即可；
（2）|MA|•|MB|=$\sqrt{\frac{1}{{k}^{2}}+1}•\sqrt{4+4{k}^{2}}$=$\frac{2（1+{k}^{2}）}{|k|}$=2[-$\frac{1}{k}$+（-k）]，利用基本不等式，即可得出结论．

解答 解：设直线l：y-1=k（x-2）（k＜0），则有A（2-$\frac{1}{k}$，0）、B（0，1-2k）．
（1）由三角形面积S=$\frac{1}{2}$（1-2k）（2-$\frac{1}{k}$），得4k²+2（S-2）k+1=0．
因为△=4（S-2）²-16≥0，
所以S≥4或S≤0（舍去）．
又当S≥4时，k＜0，
所以△AOB面积的最小值为4．
此时，由4k²+4k+1=0，得k=-$\frac{1}{2}$．
所以直线方程为y-1=-$\frac{1}{2}$（x-2），即x+2y-4=0．
（2）因为|MA|•|MB|=$\sqrt{\frac{1}{{k}^{2}}+1}•\sqrt{4+4{k}^{2}}$=$\frac{2（1+{k}^{2}）}{|k|}$=2[-$\frac{1}{k}$+（-k）]≥4（因为k＜0），
当且仅当-k=-$\frac{1}{k}$，即k=-1时，|MA|•|MB|取最小值4．此时直线方程为x+y-3=0．

点评 考查学生会求直线与x轴、y轴的截距，会利用基本不等式求面积的最小值，会写出直线的一般式方程．