Question

20．已知数列{a_n}满足a_n+1=2+a_n（n∈N^*），a₂=3a₅，其前n项和为S_n，若对于任意的n∈N^*，总有S_n≥S_k成立，则|a_k|+|a_k+1|+…+|a₁₅|=82．

Answer 1

分析 数列{a_n}满足a_n+1=2+a_n（n∈N^*），可得数列{a_n}是公差为2的等差数列，又a₂=3a₅，可得a_n=2n-13．由a_n≥0，可得当n=6时，S_n取得最小值，k=6．去掉绝对值符号利用等差数列的通项公式及其性质即可得出．

解答 解：∵数列{a_n}满足a_n+1=2+a_n（n∈N^*），∴数列{a_n}是公差为2的等差数列，又a₂=3a₅，∴a₁+2=3（a₁+4×2），解得a₁=-11，∴a_n=-11+2（n-1）=2n-13．
由a_n≥0，解得n≥7，n≤6时，a_n＜0．因此当n=6时，S_n取得最小值，
∵对于任意的n∈N^*，总有S_n≥S_k成立，
∴k=6．
∴|a_k|+|a_k+1|+…+|a₁₅|=-a₆+a₇+…+a₁₅=9a₁₁-a₆=9×（2×11-13）-（2×6-13）=82．
故答案为：82．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其性质、数列的单调性、绝对值数列求和问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．