题目内容

2．为了研究一种昆虫的产卵数y和温度x是否有关，现收集了7组观测数据列于下表中，并作出了散点图，发现样本点并没有分布在某个带状区域内，两个变量并不呈线性相关关系，现分别用模型①：y=C1x2+C2与模型②：y=e${\;}^{{C}_{3}x+{C}_{4}}$作为产卵数y和温度x的回归方程来建立两个变量之间的关系．
温度x/℃20222426283032
产卵数y/个610212464113322
t=x24004845766767849001024
Z=lny1.792.303.043.184.164.735.77
 $\overline{x}$ $\overline{t}$ $\overline{y}$ $\overline{z}$
 26 692 80 3.57
 $\frac{\sum_{i=1}^{7}（{x}_{i}-\overline{x}）（{y}_{i}-\overline{y）}}{\sum_{i=1}^{7}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$ $\frac{\sum_{i=1}^{7}（{t}_{i}-\overline{t}）（{y}_{i}-\overline{y}）}{\sum_{i=1}^{7}（{t}_{i}-\overline{t}）^{2}}$ $\frac{\sum_{i=1}^{7}（{z}_{i}-\overline{z}）（{x}_{i}-\overline{x}）}{\sum_{i=1}^{7}（{x}_{i}-\overline{x}）^{2}}$ $\frac{\sum_{i=1}^{7}（{z}_{i}-\overline{z}）（{t}_{i}-\overline{t}）}{\sum_{i=1}^{7}（{t}_{i}-\overline{t}）^{2}}$
 1157.54 0.43 0.32 0.00012
其中ti=xi2，$\overline{t}$=$\sum_{i=1}^{7}{t}_{i}$，zi=lnyi，$\overline{u}$=$\sum_{i=1}^{7}{z}_{i}$，
附：对于一组数据（u1，v1），（u2，v2），…，（un，vn），其回归直线v=βu+α的斜率和截距的最小二乘估计分别为：β=$\frac{\sum_{i=1}^{n}（{u}_{i}-\overline{u}）（{v}_{i}-\overline{v}）}{\sum_{i=1}^{n}（{u}_{i}-\overline{u}）^{2}}$，α=$\overline{v}$-β$\overline{u}$．
（1）分别画出y关于t的散点图、z关于x的散点图，根据散点图判断哪一个模型更适宜作为回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）．
（2）根据表中数据，分别建立两个模型下建立y关于x的回归方程；并在两个模型下分别估计温度为30℃时的产卵数．（C1，C2，C3，C4与估计值均精确到小数点后两位）（参考数据：e4.65≈104.58，e4.85≈127.74，e5.05≈156.02）
（3）若模型①、②的相关指数计算分别为R12=0.82，R22=0.96，请根据相关指数判断哪个模型的拟合效果更好．

分析 （1）画出y关于t的散点图和z关于x的散点图，结合图形判断模型②更适宜作为回归方程类型；
（2）计算模型①的回归系数，写出回归方程，求出x=30时$\stackrel{∧}{y}$的值；
计算模型②的回归系数，写出回归方程，求出x=30时$\stackrel{∧}{y}$的值即可；
（3）根据${{R}_{1}}^{2}$＜${{R}_{2}}^{2}$判断模型②的拟合效果更好．

解答 解：（1）画出y关于t的散点图如图1，
画出z关于x的散点图如图2；
根据散点图可以判断模型②更适宜作为回归方程类型；
（2）对于模型①，设t=x2，则y=C1x2+C2=C1t+C2，
计算C1=$\frac{\sum_{i=1}^{7}{（t}_{i}-\overline{t}）{（y}_{i}-\overline{y}）}{{\sum_{i=1}^{7}{（t}_{i}-\overline{t}）}^{2}}$=0.43，
C2=$\overline{y}$-C1$\overline{t}$=80-0.43×692=-217.56，
∴所求回归方程为$\stackrel{∧}{y}$=0.43x2-217.56，
当x=30时，估计温度为$\stackrel{∧}{y}$=0.43×302-217.56=169.44；
对于模型②，设y=${e}^{{C}_{1}x{+C}_{2}}$，
则z=lny=C3x+C4，
计算C3=$\frac{\sum_{i=1}^{7}{（z}_{i}-\overline{z}）{（x}_{i}-\overline{x}）}{{\sum_{i=1}^{7}{（x}_{i}-\overline{x}）}^{2}}$=0.32，
C4=$\overline{z}$-C3$\overline{x}$=3.57-0.32×26=-4.75，
∴所求回归方程为$\stackrel{∧}{z}$=0.32x-4.75，
即$\stackrel{∧}{y}$=e0.32x-4.75；
当x=30时，估计温度为$\stackrel{∧}{y}$=e0.32×30-4.75≈127.74；
（3）∵R12=0.82，R22=0.96，
∴${{R}_{1}}^{2}$＜${{R}_{2}}^{2}$，
∴模型②的拟合效果更好．

点评 本题考查了散点图以及回归方程和相关指数的应用问题，也考查了分析与判断能力的应用问题，是综合性题目．

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