题目内容

1．如图，以坐标原点O为圆心的单位圆与x轴正半轴相交于点A，点B，P在单位圆上，且B（-$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$，$\frac{{2\sqrt{5}}}{5}$），∠AOB=α．
（1）求$\frac{4cosα-3sinα}{5cosα+3sinα}$的值；
（2）若四边形OAQP是平行四边形，
（i）当P在单位圆上运动时，求点O的轨迹方程；
（ii）设∠POA=θ（0≤θ≤2π），点Q（m，n），且f（θ）=m+$\sqrt{3}$n．求关于θ的函数f（θ）的解析式，并求其单调增区间．

分析 （1）由三角函数定义得tanα=-2，再弦化切代入计算，即可求求$\frac{4cosα-3sinα}{5cosα+3sinα}$的值；
（2）（i）设PA中点为H，P（x1，y1），Q（x，y），则$x_1^2+y_1^2=1$，$H（\frac{{x_1^{\;}+1}}{2}，\frac{{y_1^{\;}}}{2}）$，由此可求点O的轨迹方程；
（ii）确定$f（θ）=cosθ+\sqrt{3}sinθ+1=2sin（θ+\frac{π}{6}）+1$，即可求其单调增区间．

解答 解：（1）由三角函数定义得tanα=-2，所以原式=$\frac{4-3tanα}{5+3tanα}=\frac{10}{-1}=-10$．
（2）∵四边形OAQP是平行四边形，∴PA与OQ互相平分，
（i）设PA中点为H，P（x1，y1），Q（x，y），则$x_1^2+y_1^2=1$，$H（\frac{{x_1^{\;}+1}}{2}，\frac{{y_1^{\;}}}{2}）$，
又$H（\frac{x}{2}，\frac{y}{2}）$，所以$\left\{\begin{array}{l}{x_1}=x-1\\{y_1}=y\end{array}\right.$，代入上式得点Q的轨迹方程为（x-1）2+y2=1．
（ii）依题意得$\left\{\begin{array}{l}{x_1}=cosθ\\{y_1}=sinθ\end{array}\right.$，
又由（i）知$\left\{\begin{array}{l}{x_1}=m-1\\{y_1}=n\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}m=cosθ+1\\ n=sinθ\end{array}\right.$，
∴$f（θ）=cosθ+\sqrt{3}sinθ+1=2sin（θ+\frac{π}{6}）+1$
∵$\left\{\begin{array}{l}2kπ-\frac{π}{2}≤θ+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}，k∈Z\\ 0≤θ≤2π\end{array}\right.$，
∴$0≤θ≤\frac{π}{3}$或$\frac{4π}{3}≤θ≤2π$，
∴f（θ）的增区间为$[0，\frac{π}{3}]$和$[\frac{4π}{3}，2π]$．

点评 本题考查同角三角函数关系的应用，考查轨迹方程，考查三角函数知识，属于中档题．

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