Question

4．（重点中学做）如图所示，设A，B分别是椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右顶点和上顶点，过原点O作直线交线段AB于点M（异于点A，B），交椭圆于C，D两点（点C在第一象限内），△ABC与△ABD的面积分别为S₁与S₂．
（1）若M是线段AB的中点，直线OM的方程为y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，点P（3，1）在椭圆E上，求椭圆E的方程；
（2）当点M在线段AB上运动时，求$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$的最大值．

Answer 1

分析 （1）由中点坐标公式求出A，B的中点M，把M坐标代入直线y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x得到a与b的关系，结合a²=b²+c²可求椭圆的离心率；
（2）设出C和D点的坐标，求出直线AB的方程，由点到直线的距离公式求出C和D到直线AB的距离，因为△ABC和△ABD同底，所以把两个三角形的面积比转化为C，D到直线AB的距离比，然后借助于基本不等式求最大值．

解答 解：（1）由题意可知：A（a，0），B（0，b），
∴M（$\frac{a}{2}$，$\frac{b}{2}$），
点M（$\frac{a}{2}$，$\frac{b}{2}$）在y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，
∴$\frac{b}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，a²=3b²，
点P（3，1）在椭圆上，$\frac{9}{{a}^{2}}+\frac{1}{{b}^{2}}=1$，
解得a²=12，b²=4，
故椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）设C（x₀，y₀），x₀＞0，y₀＞0，则$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}}=1$，点D（-x₀，-y₀），
由题意知直线AB的方程为bx+ay-ab=0，点C的直线AB的上方，
∴点C到直线AB的距离h_C=$\frac{b{x}_{0}+a{y}_{0}-ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$，
同理点D到直线AB的距离h_D=$\frac{b{x}_{0}+a{y}_{0}+ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$，
$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$=$\frac{{h}_{C}}{{h}_{D}}$=$\frac{b{x}_{0}+a{y}_{0}-ab}{b{x}_{0}+a{y}_{0}+ab}$=1-$\frac{2ab}{b{x}_{0}+a{y}_{0}+ab}$，
∵$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}}=1$，${b}^{2}{x}_{0}^{2}+{a}^{2}{y}_{0}^{2}={a}^{2}{b}^{2}$，
∴$\frac{b{x}_{0}+a{y}_{0}}{2}$≤$\sqrt{\frac{{b}^{2}{x}_{0}^{2}+{a}^{2}{y}_{0}^{2}}{2}}$=$\frac{\sqrt{2}ab}{2}$，当且仅当bx₀=ay₀取等号，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=\frac{\sqrt{2}a}{2}}\\{{y}_{0}=\frac{\sqrt{2}b}{2}}\end{array}\right.$，
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$≤1-$\frac{2ab}{\sqrt{2}ab+ab}$=3-2$\sqrt{2}$，
∴$\frac{{S}_{1}}{{S}_{2}}$的最大值为3-2$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了椭圆的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，突出考查了数形结合和等价转化等数学思想方法，解答此题的关键是运用线性规划的知识去掉点到直线的距离中的绝对值．属难题．