Question

已知各项均为正整数的数列{a_n}满足a₁＜4，a_n+1=2a_n+1，且＜对任意n∈N^*恒成立.数列{a_n}，{b_n}满足等式2(λⁿ+b_n)=2nλⁿ+a_n+1(λ＞0).

(1)求证:数列{a_n+1}是等比数列，并求出{a_n}的通项公式；

(2)求数列{b_n}的前n项和S_n；

(3)证明存在k∈N^*，使得≤对任意n∈N^*均成立.

Answer 1

(1)证明:由a_n+1=2a_n+1得a_n+1+1=2(a_n+1),

∵a₁＞0,∴a₁+1＞1.∴{a_n+1}是等比数列.∵＜,

∴＜，即＜·对任意n∈N^*恒成立.

∴＜4.∴a₁≥3.∵a₁＜4，a₁∈N^*,∴a₁=3.

∴a_n+1=4·2^n-1,∴a_n=2ⁿ⁺¹-1.

(2)解:由2(λⁿ+b_n)=2nλⁿ+a_n+1(λ＞0),得b_n=(n-1)λⁿ+2ⁿ,

设数列{(n-1)λⁿ}的前n项的和为T_n,∴T_n=λ²+2λ³+3λ⁴+…+(n-1)λⁿ.

λT_n=λ³+2λ⁴+…+(n-2)λⁿ+(n-1)λⁿ⁺¹,(1-λ)T_n=λ²+λ³+λ⁴+…+λⁿ-(n-1)λⁿ⁺¹,

当λ=1时，T_n=1+2+…+(n-1)=,当λ≠1时，T_n=,

∴S_n=

(3)证明:存在k=1满足题意,

≤2n·λⁿ⁺¹≤(n-1)λⁿ⁺²+4(n-1)λⁿ+2ⁿλ².(*)

当n≥2时，∵(n-1)λⁿ⁺²+4(n-1)λⁿ+2ⁿλ²=(n-1)λⁿ(λ²+4)+2ⁿλ²≥(n-1)λⁿ·4λ+2ⁿλ²＞(4n-4)λⁿ⁺¹≥2nλⁿ⁺¹,

又n=1时，(*)式成立.

∴对任意n∈N^*，(*)式成立.