题目内容
已知椭圆C：
＝1(a>b>0)，点A、B分别是椭圆C的左顶点和上顶点，直线AB与圆G：x2＋y2＝
(c是椭圆的半焦距)相离，P是直线AB上一动点，过点P作圆G的两切线，切点分别为M、N.
(1)若椭圆C经过两点
、
，求椭圆C的方程；
(2)当c为定值时，求证：直线MN经过一定点E，并求
·
的值(O是坐标原点)；
(3)若存在点P使得△PMN为正三角形，试求椭圆离心率的取值范围．.
（1）
＝1.（2）见解析（3）
【解析】(1)【解析】
令椭圆mx2＋ny2＝1，其中m＝
，n＝
，得
所以m＝
，n＝
，即椭圆方程为＝1.
(2)证明：直线AB：
＝1，设点P(x0，y0)，则OP的中点为
，所以点O、M、P、N所在的圆的方程为
＝
，化简为x2－x0x＋y2－y0y＝0，与圆x2＋y2＝
作差，即直线MN：x0x＋y0y＝.
因为点P(x0，y0)在直线AB上，得
＝1，
所以x0 
＋
＝0，即
得x＝－
，y＝
，故定点E 
，
·
＝
＝.
(3)【解析】
由直线AB与圆G：x2＋y2＝
(c是椭圆的焦半距)相离，则
＞
，即4a2b2＞c2(a2＋b2)，4a2(a2－c2)＞c2(2a2－c2)，得e4－6e2＋4＞0.因为0＜e＜1，所以0＜e2＜3－
①.连结ON、OM、OP，若存在点P使△PMN为正三角形，则在Rt△OPN中，OP＝2ON＝2r＝c，所以
≤c，a2b2≤c2(a2＋b2)，a2(a2－c2)≤c2(2a2－c2)，得e4－3e2＋1≤0.因为0＜e＜1，所以
≤e2＜1，②.由①②得
≤e2＜3－，所以
练习册系列答案
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(n∈N＋)的展开式中含有的常数项最小的n为________．
，且∠ABC＝120°，BC＝10，边BC在x轴上且y轴垂直平分BC边，则过点A且以B、C为焦点的双曲线方程为______________．
＝1的渐近线方程为________．
＝1(a＞b＞0)，且它的四条边与坐标轴平行，正方形MNPQ的顶点M、N在椭圆上，顶点P、Q在正方形的边AB上，且A、M都在第一象限．
＝1(a>b>0)的左、右焦点，点M在x轴上，且
＝
，过点F2的直线与椭圆交于A、B两点，且AM⊥x轴，
·
＝0.
，求椭圆的方程．
＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则
·
的最大值为________．
＋y2＝1上，顶点A与椭圆的焦点F1重合，且椭圆的另外一个焦点F2在BC边上，则△ABC的周长是________．