Question

已知函数。
（I）当a=1时，求函数f（x）的图象在点A（0，f（0））处的切线方程；
（II）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅲ）是否存在实数a∈（1，2），使当x∈（0，1）时恒成立？若存在，求出实数a；若不存在，请说明理由。

Answer 1

解（I）a=1时，
，
于是，
所以函数f（x）的图象在点A（0，f（0））处的切线方程为，
即；
（II）
，
∵，
∴只需讨论的符号，
ⅰ）当a＞2时，＞0，这时＞0，所以函数f（x）在（-∞，+∞）上为增函数；
ⅱ）当a=2时，≥0，函数f（x）在（-∞，+∞）上为增函数；
ⅲ）当0＜a＜2时，令=0，解得，
当x变化时，f′（x）和f（x）的变化情况如下表：

∴f（x）在，为增函数，f（x）在为减函数；
（Ⅲ）当a∈（1，2）时，∈（0，1），
由（2）知f（x）在上是减函数，在上是增函数，
故当x∈（0，1）时，，
所以当x∈（0，1）时恒成立，等价于恒成立，
当a∈（1，2）时，，设，则，
表明g（t） 在（0，1）上单调递减，
于是可得，即a∈（1，2）时恒成立，
因此，符合条件的实数a不存在。