Question

7．已知函数f（x）=（x²-3x+3）•e^x．
（1）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[-2，t]（t＞-2）上为单调函数；
（2）若t为自然数，则当t取哪些值时，方程f（x）-z=0（x∈R）在[-2，t]上有三个不相等的实数根，并求出相应的实数z的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而确定t的范围即可；
（2）问题转化为只需满足z∈（max{f（-2），f（1）}，min{f（0），f（t）}）即可．

解答 解：（1）因为f'（x）=（x²-3x+3）•e^x+（2x-3）•e^x=x（x-1）•e^x，
由f'（x）＞0⇒x＞1或x＜0，由f'（x）＜0⇒0＜x＜1，
所以f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，
欲使f（x）在[-2，t]上为单调函数，则-2＜t≤0．
（2）由（1）知f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，
故当t=0或t=1时，方程f（x）-z=0在[-2，t]上不可能有三个不等实根，
所以t≥2，且t∈N．
当t≥2，且t∈N时，方程f（x）-z=0在[-2，t]上有三个不等实根，
只需满足z∈（max{f（-2），f（1）}，min{f（0），f（t）}）即可．
因为$f（{-2}）=\frac{13}{e^2}，f（0）=3，f（1）=e，f（2）={e^2}$，且f（t）≥f（2）=e²＞3=f（0），
因而f（-2）＜f（1）＜f（0）＜f（2）≤f（t），
所以f（1）＜z＜f（0），即e＜z＜3，
综上所述，当t≥2，且t∈N时，满足题意，此时实数z的取值范围是（e，3）．

点评 本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及方程根的问题，考查转化思想，是一道综合题．