题目内容

已知函数 $数学公式$ （常数a∈R⁺）
（Ⅰ）判断f（x）的奇偶性并说明理由；
（Ⅱ）试研究函数f（x）在定义域内的单调性，并利用单调性的定义给出证明．

解：（1）定义域为：（-∞，0）∪（0，+∞）
∵ $\text{[math]}$ ，
∴f（x）是偶函数．
（2）f（x）= $\text{[math]}$ （a∈R⁺）
1⁰若 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ，则f（x）= $\text{[math]}$ ，设 $\text{[math]}$
由 $\text{[math]}$ ≤x₁＜x₂?x₁²x₂²≥a²? $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ 且x₂²-x₁²＞0，
当 $\text{[math]}$ ?a 时，f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在 $\text{[math]}$ 上是增函数；
又f（x）是偶函数，f（x）在 $\text{[math]}$ 上是减函数．
当 $\text{[math]}$ 时， $\text{[math]}$ 时，
$\text{[math]}$ ，1≤x₁＜x₂时，
$\text{[math]}$ ．
∴f（x）在 $\text{[math]}$ 上是减函数，
在[1，+∞）上是增函数；
又f（x）是偶函数，在 $\text{[math]}$ 上是增函数，
在（-∞，-1]上是减函数．
2⁰若 $\text{[math]}$ ，则f（x）= $\text{[math]}$ ，
设 $\text{[math]}$ ，同理∴f（x）在 $\text{[math]}$ 上是减函数，
又f（x）是偶函数，于是f（x）在 $\text{[math]}$ 上是增函数．
由1⁰2⁰知：当0＜a≤1时，f（x）在（0，1]上是减函数，
在[1，+∞）上是增函数，在（-∞，-1]上是减函数，在[-1，0）上是增函数；
当a＞1时，f（x）在 $\text{[math]}$ 上是减函数，在 $\text{[math]}$ 上是增函数，
在 $\text{[math]}$ 上是减函数，在 $\text{[math]}$ 上是增函数．
分析：（Ⅰ）首先要考虑函数的定义域，然后利用函数奇偶性的定义即可获得问题的解答；
（Ⅱ）首先将绝对值函数转化为分段函数，然后分类讨论不同段上的函数单调性即可，讨论时用定义法即可．
点评：本题考查的是函数奇偶性与单调性判断与证明的问题．在解答的过程当中充分体现了函数奇偶性和单调性的定义、分类讨论的思想以及问题转化的能力．值得同学们体会和反思．