Question

17．已知（$\frac{\sqrt{x}}{2}$-$\frac{a}{\sqrt{x}}$）⁸的展开式中x项的系数为-14，则a的值为2．

Answer 1

分析 （$\frac{\sqrt{x}}{2}$-$\frac{a}{\sqrt{x}}$）⁸的展开式的通项公式T_r+1=${∁}_{8}^{r}$$（\frac{\sqrt{x}}{2}）^{8-r}$$（-\frac{a}{\sqrt{x}}）^{r}$=$（\frac{1}{2}）^{8-r}$（-a）^r${∁}_{8}^{r}$x^4-r，令4-r=1，解得r=3．可得T₄=$（\frac{1}{2}）^{5}（-a）^{3}$${∁}_{8}^{3}$x，利用已知即可得出．

解答 解：（$\frac{\sqrt{x}}{2}$-$\frac{a}{\sqrt{x}}$）⁸的展开式的通项公式T_r+1=${∁}_{8}^{r}$$（\frac{\sqrt{x}}{2}）^{8-r}$$（-\frac{a}{\sqrt{x}}）^{r}$=$（\frac{1}{2}）^{8-r}$（-a）^r${∁}_{8}^{r}$x^4-r，
令4-r=1，解得r=3．
∴T₄=$（\frac{1}{2}）^{5}（-a）^{3}$${∁}_{8}^{3}$x
∵（$\frac{\sqrt{x}}{2}$-$\frac{a}{\sqrt{x}}$）⁸的展开式中x项的系数为-14，
∴$（\frac{1}{2}）^{5}（-a）^{3}$${∁}_{8}^{3}$=-14，
解得a=2．
故答案为：2．

点评 本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．