Question

 

已知数列、

（Ⅰ）若{a_n}是等比数列，试求数列{b_n}的前n项和S­_n的公式；

（Ⅱ）当{b_n}是等比数列时，甲同学说：{a_n}一定是等比数列；乙同学说：{a_n}一定不是等比数列,你认为他们的说法是否正确？为什么？

 

 

Answer 1

【答案】

 （I）解：因为{a_n}是等比数列a₁=1,a₂=a.

∴a≠0，a_n=a^n－1.

又

即是以a为首项, a²为公比的等比数列.

 

（II）甲、乙两个同学的说法都不正确，理由如下：

解法一：设{b_n}的公比为q，则

又a₁=1,a₂=a, a₁, a₃, a₅,…，a_2n－1，…是以1为首项，q为公比的等比数列，

a₂, a₄, a₆, …, a_2n , …是以a为首项，q为公比的等比数列，

即{a_n}为：1，a, q, aq , q², aq²,

当q=a²时，{a_n}是等比数列；

当q≠a²时，{a_n}不是等比数列.

解法二：{a_n}可能是等比数列，也可能不是等比数列，举例说明如下：

设{b_n}的公比为q

（1）取a=q=1时，a_n=1(n∈N)，此时b_n=a_na_n+1=1, {a_n}、{b_n}都是等比数列.

（2）取a=2, q=1时，

所以{b_n}是等比数列，而{a_n}不是等比数列．