Question

已知函数．

（1）求函数的定义域；

（2）判断函数的奇偶性；

（3）当时，函数，求函数的值域．

 

Answer 1

（1）函数的定义域为；（2）函数是奇函数；（3）函数的值域为．

【解析】

试题分析：（1）具有解析式的函数的定义域无特殊情况下，通常就是使解析式有意义的自变量的取值范围；通常关注的是：①开偶次方时被开方的式子为非负；②作为分母不得为零；③作为对数的真数必须为正；④作为对数的底数必须为正且不为；（2）奇、偶性的判断，首先必须关注定义域，定义域关于原点对称是函数具备奇、偶性的必要条件，接下来用定义或等价定义来判断；（3）求函数值域的方法很多，在大题中经常通过探讨函数单调性来达到求函数值域的目的，这里即是．

试题解析：（1）由得，则函数的定义域为． 4分

（2）当时，，

因此，函数是奇函数． 9分

（3）设，当时，

则函数在区间上是减函数，

故函数在区间上也是减函数． 12分

（证明单调性也可用定义）

则， 13分

因此，函数的值域为． 14分

考点：函数的定义域、值域、单调性、奇偶性等的综合应用．