Question

3．已知不等式|t-2|+|t-3|≤1的解集为[a，b]，ax²+by²=1
（Ⅰ）求a•b的值；
（Ⅱ）求x+y的最值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据绝对值的性质得到关于t的不等式，解出即可；（Ⅱ）根据不等式的性质求出x+y的范围，根据满足“=”的条件求出x+y的最值即可．

解答 解：（I）由|t-2|+|t-3|≤1及|t-2|+|t-3|≥|（t-2）-（t-3）|=1，
得（t-2）•（t-3）≤0，
所以2≤t≤3，
即：a=2，b=3，a•b=6；
（II） 由（I）得ax²+by²=2x²+3y²=1，
∴$（{2{x^2}+3{y^2}}）•（{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}}）$≥（x+y）²，
∴$-\frac{{\sqrt{30}}}{6}≤x+y≤\frac{{\sqrt{30}}}{6}$，
当且仅当$x=-\frac{{\sqrt{30}}}{10}，y=-\frac{{\sqrt{30}}}{15}$时x+y取最小值$-\frac{{\sqrt{30}}}{6}$；
当且仅当$x=\frac{{\sqrt{30}}}{10}，y=\frac{{\sqrt{30}}}{15}$时x+y取最大值$\frac{{\sqrt{30}}}{6}$．

点评 本题考查了解绝对值不等式问题，考查不等式的性质，是一道中档题．