Question

已知数列的前n项和为满足：．

（1）求证：数列是等比数列；

（2）令，对任意，是否存在正整数m，使都成立？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

 

Answer 1

（1）详见解析；（2）m的值为1，2，3．

【解析】

试题分析：（1）首先由题设找到与间的关系，然后证明是一个常数.（2）首先求得

，由此得，用裂项法可求得和.由对任意都成立，得，即对任意都成立，所以 小于等于的最小值.

（1）当时，，解得， 1分

当时，由得， 2分

两式相减，得，即（）， 3分

则，故数列是以为首项，公比为3的等比数列． 4分

（2）由（1）知，

， 6分

所以， 7分

则， 8分

由对任意都成立，得， 10分

即对任意都成立，又，

所以m的值为1，2，3． .12分

考点：1、等比数列；2、裂项法求和；3、不等关系.