Question

6．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，过C（-1，0）点且斜率为1的直线l与椭圆交于A，B两点，且C点分有向线段$\overrightarrow{AB}$所成的比为3．
（1）求该椭圆方程；
（2）P，Q为椭圆上两动点，满足$\overrightarrow{OP}$•$\overrightarrow{OQ}$=0，探求$\frac{1}{|OP{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OQ{|}^{2}}$是否为定值，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）由椭圆离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，得到a²=2b²，直线l的方程为y=x+1，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2{b}^{2}}\end{array}\right.$，得3x²+4x+2-2b²=0，再由C点分有向线段$\overrightarrow{AB}$所成的比为3，结合韦达定理求出b²=1，a²=2，由此能求出椭圆方程．
（2）设直线PQ为：y=kx+m，联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，由此利用韦达定理、点到直线距离公式，结合已知条件能求出$\frac{1}{|OP{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OQ{|}^{2}}$为定值．

解答 解：（1）∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）离心率e=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴${e}^{2}=\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{2}$，∴a²=2b²，
∵过C（-1，0）点且斜率为1的直线l与椭圆交于A，B两点，
∴直线l的方程为y=x+1，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=x+1}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2{b}^{2}}\end{array}\right.$，得3x²+4x+2-2b²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4}{3}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{2-2{b}^{2}}{3}$，
∵C点分有向线段$\overrightarrow{AB}$所成的比为3，∴$\overrightarrow{AC}=3\overrightarrow{CB}$，
∴（-1-x₁，-y₁）=3（x₂+1，y₂），∴x₁+3x₂+4=0，
∴$（{x}_{1}+{x}_{2}）+2{x}_{2}+4=-\frac{4}{3}+2{x}_{2}+4=0$，
解得${x}_{2}=-\frac{4}{3}$，x₁=0，
∴b²=1，a²=2，
∴椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
（2）设直线PQ为：y=kx+m，
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+m}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
设P（x₃，y₃），Q（x₄，y₄），则${x}_{3}+{x}_{4}=-\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，${x}_{3}{x}_{4}=\frac{2{m}^{2}-2}{1+2{k}^{2}}$，
∴y₃y₄=（kx₃+m）（kx₄+m）=$\frac{{m}^{2}-2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
∵x₃x₄+y₃y₄=0，
∴2m²-2+m²-2k²=0，∴$\frac{{m}^{2}}{1+{k}^{2}}$=$\frac{2}{3}$，
∴原点到直线PQ的距离d=$\frac{|m|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{{m}^{2}}{1+{k}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{2}{3}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$，
$\frac{1}{|OP{|}^{2}}+\frac{1}{|OQ{|}^{2}}$=$\frac{|OP{|}^{2}+|OQ{|}^{2}}{（|OP{||OQ|}^{2}）}$=（$\frac{|PQ|}{|OP||OQ|}$）²=$\frac{1}{{d}^{2}}$=$\frac{3}{2}$，
当PQ的斜率不存在时，仍然满足上述关系，
综上，$\frac{1}{|OP{|}^{2}}$+$\frac{1}{|OQ{|}^{2}}$为定值$\frac{3}{2}$．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查代数式和是否为定值的判断与求法，是中档题，解题时要认真审题，注意韦达定理、点到直线距离公式、向量、椭圆等知识点的综合运用．