Question

如图，在三棱锥S-ABC中，SA⊥平面ABC，AB=AC=1，SA=2，D为BC的中点．M为SB上的点，且AM=

5

2

．
（1）求证：SC∥面ADM；
（2）若三棱锥S-ABC的体积为

3

6

，且∠BAC为钝角，求直线DM与平面SAD所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）证明M为SB中点，利用D为BC中点，所以DM为三角形SBC中位线，所以DM∥SC，利用线面平行的判定定理，即可证明SC∥面ADM；
（2）利用三棱锥S-ABC的体积为

3

6

，且∠BAC为钝角，可得∠BAC=120°，先求SC与平面SAD夹角，再求直线DM与平面SAD所成角的正弦值．

解答： （1）证明：因为SA⊥平面ABC，所以SA⊥AB，
△SAB中，勾股定理有SB=

5

．
因为AM=

5

2

，三角形为直角三角形，所以M为SB中点，
又D为BC中点，所以DM为三角形SBC中位线，
所以DM∥SC，
因为SC?面ADM，DM?面ADM，
所以SC∥面ADM；
（2）解：∵三棱锥S-ABC的体积为

3

6

，∴

1

3

×

1

2

×AB×AC×SCsinBAC=

3

6

，则∠BAC=120°
△BAC为等腰三角形，D为BC的中点，∴AD⊥BC，SD⊥BC，
故SC与平面SAD夹角为∠SCD，
∵CD=

1

2

，SC=

5

，∴SD=

19

2

，
∴sin∠SCD=

190

10

，
∵DM∥SC，
∴直线DM与平面SAD所成角的正弦值为

190

10

．

点评：本题考查线面平行，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．