Question

15．已知函数f（x）=x²-2x+c．
（1）若方程f（x）=1-x在（-∞，1]上有两个不等的实根，求实数c的取值范围．
（2）是否存在实数c，使得当a+b≤2时，函数f（x）在区间[a，b]上的值域恰为[a，b]？若存在，求出c的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）化简得出x²-x+k=0，令g（x）=x²-x，（-∞，1]，t（x）=1-k，运用图象求解即可．
（2）假设存在实数k，当a+b≤2时，使函数f（x）在定义域[a，b]上的值域恰为[a，b]，根据二次函数的单调性，建立方程关系即可得到结论．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=x²-2x+c，f（x）=1-x，
∴x²-2x+c=1-x，
即x²-x+c-1=0，
令g（x）=x²-x，（-∞，1]，t（x）=1-c，

f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{4}$，
根据图象可得出；-$\frac{1}{4}$＜1-c≤0时，即1≤c＜$\frac{5}{4}$，
方程f（x）=1-x在（-∞，1]上有两个不等的实根，
（Ⅱ）①若a＜b≤1，在[a，b]上单调递减，
则 $\left\{\begin{array}{l}{b=c-2a{+a}^{2}①}\\{a=c-2b{+b}^{2}②}\end{array}\right.$，①减②得：a+b=1，即b=1-a，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-a=c-2a{+a}^{2}，（3）}\\{1-b=c-2b{+b}^{2}，（4）}\end{array}\right.$，即 $\left\{\begin{array}{l}{c-1-a{+a}^{2}=0，（5）}\\{c-1-b{+b}^{2}=0，（6）}\end{array}\right.$，
∴方程k-1-x-x²=0在x≤1上有两个不同的解，此时c∈[1，$\frac{5}{4}$）
②若a≤1≤b且1-a≥b-1，a+b≤2
在[a，b]上不单调时，
a=f（x）_min=f（1）=c-1，b=c-2a+a²，b≤2-a
b=c-2a+a²≤a+1-2a+a²≤2-a，
∴a∈[-1，0]，
∴c∈[0，1]
综上得：c∈[0，$\frac{5}{4}$）．

点评 本题考查方程根的存在问题，解题的关键是对于所给的函数式的分离参数，写出要求的参数转化为函数，再利用函数的图象解决．还考查函数与方程的综合运用，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力．