Question

14．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sin（ωx+φ）（ω＞0，-$\frac{π}{2}$≤φ＜$\frac{π}{2}$）的图象关于直线x=$\frac{π}{3}$对称，且图象上相邻最高点的距离为π．将函数y=f（x）的图象向右平移$\frac{π}{12}$个单位后，得到y=g（x）的图象，则g（x）的单调递减区间为．

• A． [kπ+$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{11π}{12}$]，k∈Z
• B． [kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ-$\frac{11π}{12}$]，k∈Z
• C． [kπ-$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{11π}{12}$]，k∈Z
• D． [kπ+$\frac{5π}{12}$，kπ-$\frac{11π}{12}$]，k∈Z

Answer 1

分析 由题意求得周期，再由周期公式求得ω，结合函数对称轴求出φ，则函数f（x）的解析式可求，再由函数的图象平移求得g（x），利用复合函数的单调性求g（x）的单调递减区间．

解答 解：由图象上相邻最高点的距离为π，的T=$\frac{2π}{ω}$=π，则ω=2．
∴f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x+φ），
又图象关于直线x=$\frac{π}{3}$对称，
∴2×$\frac{π}{3}+$φ=$\frac{π}{2}+kπ$，k∈Z．
∴φ=$-\frac{π}{6}+kπ$，k∈Z．
∵-$\frac{π}{2}$≤φ＜$\frac{π}{2}$，
∴k=0时，φ=-$\frac{π}{6}$．
则f（x）=$\sqrt{3}$sin（2x$-\frac{π}{6}$），
函数y=f（x）的图象向右平移$\frac{π}{12}$个单位后，
得到y=g（x）=f（x$-\frac{π}{12}$）=$\sqrt{3}$sin[2（x$-\frac{π}{12}$）$-\frac{π}{6}$]=$\sqrt{3}$sin（2x$-\frac{π}{3}$）．
由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{3}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，得kπ+$\frac{5π}{12}$≤x≤kπ+$\frac{11π}{12}$，k∈Z．
∴g（x）的单调递减区间为[kπ+$\frac{5π}{12}$，kπ+$\frac{11π}{12}$]，k∈Z．
故选：A．

点评 本题考查三角函数的图象变换，考查y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是中档题．