Question

6．设函数φ（x）=ax²+bx+1（a，b∈R）
（1）若φ（-1）=0，且对任意实数x均有φ（x）≥0成立，求实数a，b的值；
（2）在（1）的条件下，令f（x）=φ（x）-4x，若g（x）与f（x）在（1，+∞）上有相同的单调性，1＜x₁＜x₂，x₃=mx₁+（1-m）x₂，x₄=（1-m）x₁+mx₂且x₃＞1，x₄＞1，试比较：|g（x₃）-g（x₄）|与|g（x₁）-g（x₂）|的大小．

Answer 1

分析 （1）φ（-1）=0，可得a-b+1=0即b=a+1，对任意实数x均有φ（x）≥0成立，可得a＞0且b²-4ac≤0恒成立，即（a-1）²≤0恒成立，从而求实数a，b的值；
（2）由题设知，g（x）在（1，+∞）上单调递增分①m∈（0，1）②m≤0③m≥1三种情况讨论，即可比较：|g（x₃）-g（x₄）|与|g（x₁）-g（x₂）|的大小．

解答 解：（1）∵φ（-1）=0，
∴a-b+1=0即b=a+1，
又对任意实数x均有φ（x）≥0成立
∴a＞0且b²-4ac≤0恒成立，即（a-1）²≤0恒成立
∴a=1，b=2；
（2）f（x）=φ（x）-4x=（x-1）²，在（1，+∞）上单调递增．
∴g（x）在（1，+∞）上单调递增．
①m∈（0，1），x₃=mx₁+（1-m）x₂＞mx₁+（1-m）x₁=x₁
x₃＜mx₂+（1-m）x₂=x₂
∴x₃∈（x₁，x₂）同理可得x₄∈（x₁，x₂）
由g（x）得单调性可知，g（x₃），g（x₄）∈（g（x₁），g（x₂））
从而有|g（x₃）-g（x₄）|＜|g（x₁）-g（x₂）|；
②m≤0时，x₃=mx₁+（1-m）x₂≥mx₂+（1-m）x₂=x₂
x₄=（1-m）x₁+mx₂≤（1-m）x₁+mx₁=x₁
于是由x₃＞1，x₄＞1及g（x）得单调性可知g（x₄）≤g（x₁）＜g（x₂）≤g（x₃）
∴|g（x₃）-g（x₄）|≥|g（x₁）-g（x₂）|；
③m≥1时，同理可得x₃≤x₁，x₄≥x₂，进而可得|g（x₃）-g（x₄）|≥|g（x₁）-g（x₂）|．

点评 本题主要考查函数的概念、性质、图象等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力．