Question

14．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，AB∥DC，AB⊥BC，AB=BC=PA=1，CD=2，点E在棱PB上，且PE=2EB．
（1）求证：PD∥平面EAC；
（2）求证：平面APD⊥平面EAC．

Answer 1

分析 （1）连结AC，BD，交于点O，连结OE，推导出△AOB∽△DOC，从而$\frac{OB}{DO}=\frac{AB}{DC}$=$\frac{1}{2}$，进而$\frac{BE}{PE}=\frac{BO}{DO}$，推导出OE∥PD，由此能证明PD∥平面EAC．
（2）取CD中点F，连结AF，推导出PA⊥AC，AC⊥AD，从而AC⊥平面PAD，由此能证明平面APD⊥平面EAC．

解答 证明：（1连结AC，BD，交于点O，连结OE，
∵底面ABCD为梯形，AB∥DC，AB=BC=PA=1，CD=2，
∴△AOB∽△DOC，∴$\frac{OB}{DO}=\frac{AB}{DC}$=$\frac{1}{2}$，
∵点E在棱PB上，且PE=2EB，
∴$\frac{BE}{PE}=\frac{BO}{DO}$，∴OE∥PD，
∵PD?平面AEC，OE?平面AEC，
∴PD∥平面EAC．
（2）取CD中点F，连结AF，
∵在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为梯形，AB∥DC，AB⊥BC，AB=BC=PA=1，CD=2，
∴PA⊥AC，四边形ABCF是正方形，AF=DF=CF，AF⊥CD，
∴AC⊥AD，
∵PA∩AD=A，∴AC⊥平面PAD，
∵AC?平面PAC，
∴平面APD⊥平面EAC．

点评 本题考查线面平行、面面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间中线线、线面、面面间的位置关系的合理运用．