Question

5．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$sin2ωx-cos2ωx+$\frac{1}{2}$（其中ω为常数，且ω＞0），函数g（x）=f（x）-$\frac{5}{2}$的部分图象如图所示．则当x∈[-$\frac{π}{6}\;，\;\frac{π}{4}}$]时，函数f（x）的取值范围是[-$\frac{3}{2}$，$\sqrt{3}$+1]．

Answer 1

分析 利用两角差的正弦公式化简f（x）的解析式，利用正弦函数的周期性求得ω，再根据正弦函数的定义域和值域求得 f（x）的取值范围．

解答 解：函数f（x）=$\sqrt{3}$sin2ωx-cos2ωx+$\frac{1}{2}$=2sin（2ωx-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$（其中ω为常数，且ω＞0），
根据函数g（x）=f（x）-$\frac{5}{2}$的部分图象，可得$\frac{T}{2}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{2π}{2ω}$=$\frac{5π}{6}$-$\frac{π}{3}$，
∴ω=1，f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）+$\frac{1}{2}$，
则当x∈[-$\frac{π}{6}\;，\;\frac{π}{4}}$]时，2x-$\frac{π}{6}$∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{3}$]，sin（x-$\frac{π}{6}$）∈[-1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$]，
∴f（x）的取值范围是[-$\frac{3}{2}$，$\sqrt{3}$+1]，
故答案为：$[{-\frac{3}{2}\;，\;\frac{1}{2}+\sqrt{3}}]$．

点评 本题主要考查两角差的正弦公式，正弦函数的周期性，正弦函数的定义域和值域，属于基础题．