Question

17．设$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=4，若$\overrightarrow{a}$在$\overrightarrow{b}$方向上的投影为2，且$\overrightarrow{b}$在$\overrightarrow{a}$方向上的投影为1，则|3$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$|等于（　　）

• A． 2$\sqrt{31}$
• B． 2$\sqrt{30}$
• C． 10
• D． 9

Answer 1

分析 由条件便可得到$\left\{\begin{array}{l}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=4}\\{|\overrightarrow{a}|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=2}\\{|\overrightarrow{b}|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=1}\end{array}\right.$，这样即可解出$|\overrightarrow{a}|，|\overrightarrow{b}|$的值，从而可以求出$|3\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{|}^{2}=124$，这样便可得出$|3\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$的值．

解答 解：根据条件，$\left\{\begin{array}{l}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=4}\\{|\overrightarrow{a}|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=2}\\{|\overrightarrow{b}|cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}＞=1}\end{array}\right.$；
∴$|\overrightarrow{a}|=4，|\overrightarrow{b}|=2$，且$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=4$；
∴$|3\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{|}^{2}=9{\overrightarrow{a}}^{2}-6\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^{2}$=144-24+4=124；
∴$|3\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|=2\sqrt{31}$．
故选A．

点评 考查向量数量积的运算及计算公式，以及一个向量在另一个向量方向上的投影的定义及计算公式，要求$|3\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|$而求$|3\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}{|}^{2}$的方法．