Question

9．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的短轴长为2，线段AB是圆x²+y²-2x-y+m=0的一条直径也是椭圆C的一条弦，已知直线AB斜率为-1．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设M，P是椭圆C上的两点，点M关于x轴的对称点为N，当直线MP，NP分别交x轴于点M₁，N₁，求证：|OM₁|•|ON₁|为定值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由椭圆的短轴长为2，得到b=2，求出圆心坐标为（1，$\frac{1}{2}$），利用点差法得a²=2，由此能求出椭圆C的方程．
（Ⅱ）设M（x₃，y₃），P（x₄，y₄），直线MP的方程为x=ny+m，代入$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，得（n²+2）y²+2mny+m²-2=0，求出直线NP的方程，由此能证明|OM₁|•|ON₁|为定值．

解答 解：（Ⅰ）∵椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的短轴长为2，∴2b=2，b=1．
∵线段AB是圆x²+y²-2x-y+m=0的一条直径也是椭圆C的一条弦，直线AB斜率为-1，
∴圆心坐标为（1，$\frac{1}{2}$），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{{x}_{1}}^{2}}{{a}^{2}}+{{y}_{1}}^{2}=1}\\{\frac{{{x}_{2}}^{2}}{{a}^{2}}+{{y}_{2}}^{2}=1}\end{array}\right.$，
两式相减，得：$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}}{{x}_{1}+{x}_{2}}•\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{1}{{a}^{2}}$，
∴$\frac{2•\frac{1}{2}}{2•1}•（-1）=-\frac{1}{{a}^{2}}$，解得a²=2，
∴椭圆C的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$．
（Ⅱ）证明：设M（x₃，y₃），P（x₄，y₄），直线MP的方程为x=ny+m，
代入$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$，得（n²+2）y²+2mny+m²-2=0，
∴${y}_{3}+{y}_{4}=-\frac{2mn}{{n}^{2}+2}$，${y}_{3}{y}_{4}=\frac{{m}^{2}-2}{{n}^{2}+2}$，
直线NP的方程为$y+{y}_{3}=\frac{{y}_{4}+{y}_{3}}{{x}_{4}-{x}_{3}}$（x-x₃），
令y=0，得${y}_{{N}_{1}}=\frac{{y}_{3}{y}_{4}+{x}_{3}{x}_{4}}{{y}_{3}+{y}_{4}}$=$\frac{2n{y}_{3}{y}_{4}+m（{y}_{3}+{y}_{4}）}{{y}_{3}+{y}_{4}}$=$\frac{2}{m}$，
∵M₁（m，0），∴|OM₁|•|ON₁|=2为定值．

点评 本题考查椭圆方程的求法，考查两线段长的乘积为定值的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、点差法、圆的性质的合理运用．