Question

4．已知复数z=k-2i（k∈R）的共轭复数$\overline{z}$，且z-（$\frac{1}{2}$-i）=$\frac{\overline{z}}{2}$-2i．
（Ⅰ）求k的值；
（Ⅱ）若过点（0，-2）的直线l的斜率为k，求直线l与曲线y=$\sqrt{x}$以及y轴所围成的图形的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用复数相等与代数运算，列出方程求出k的值；
（Ⅱ）写出直线l的方程，求出直线l与曲线y=$\sqrt{x}$的交点，再利用积分求对应的面积．

解答 解：（Ⅰ）复数z=k-2i的共轭复数$\overline{z}$=k+2i，
且z-（$\frac{1}{2}$-i）=$\frac{\overline{z}}{2}$-2i，
∴（k-2i）-（$\frac{1}{2}$-i）=$\frac{1}{2}$（k+2i）-2i，
∴（k-$\frac{1}{2}$）-i=$\frac{1}{2}$k-i，
即k-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$k，
解得k=1；
（Ⅱ）过点（0，-2）的直线l的斜率为k=1，
∴直线l的方程为：y=x-2；
令$\left\{\begin{array}{l}{y=x-2}\\{y=\sqrt{x}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴直线l与曲线y=$\sqrt{x}$的交点为（4，2）；
如图所示
曲线y=$\sqrt{x}$与直线y=x-2以及y轴所围成的图形的面积为：
S_△OBC+∫₀²$\sqrt{x}$dx+∫₂⁴（$\sqrt{x}$-x+2）dx=$\frac{1}{2}$×2×2+$\frac{2}{3}$${x}^{\frac{3}{2}}$${|}_{0}^{2}$+（$\frac{2}{3}$${x}^{\frac{3}{2}}$-$\frac{1}{2}$x²+2x）${|}_{2}^{4}$=$\frac{16}{3}$．

点评 本题考查了复数的代数运算问题，也考查了用定积分求面积的应用问题，是综合性题目．