Question

如图是某直三棱柱（侧棱与底面垂直）被削去上底后的直观图与三视图的侧视图、俯视图，在直观图中，M是BD的中点，侧视图是直角梯形，俯视图是等腰直角三角形，有关数据如图所示。

   

（1）求出该几何体的体积；
（2）若N是BC的中点，求证：AN∥平面CME；
（3）求证：平面BDE⊥平面BCD。

Answer 1

解：（1）由题意可知，四棱锥B-ACDE中，平面ABC⊥平面ACDE，AB⊥AC，
所以AB⊥平面ACDE
又AC=AB=AE=2，CD=4，
所以四棱锥B-ACDE的体积为
。
（2）连接MN，则MN∥CD，
又，AE∥CD
所以MNAE
所以四边形ANME为平行四边形，
所以AN∥EM
因为AN平面CME，EM平面CME，
所以AN∥平面CME。
（3）因为AC=AB，N是BC的中点，
所以AN⊥BC
又平面ABC⊥平面BCD，
所以AN⊥平面BCD
由（2）知AN∥EM，
所以EM⊥平面BCD，
又EM平面BDE，
所以平面BDE⊥平面BCD。