Question

10．现有3个命题：
P₁：函数f（x）=lgx-|x-2|有2个零点
p₂：?x∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），sinx+$\sqrt{3}$cosx=$\sqrt{2}$
p₃：若a+b=c+d=2，ac+bd＞4，则 a、b、c、d中至少有1个为负数．
那么，这3个命题中，真命题的个数是（　　）

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 画出图形，数形结合判断命题P₁；利用辅助角公式化积，求出x值判断命题P₂；利用反证法证明命题P₃．

解答 解：由f（x）=lgx-|x-2|=0，得lgx=|x-2|，
作出函数y=lgx，y=|x-2|的图象如图：
由图可知，两函数图象有两个交点，从而函数f（x）=lgx-|x-2|有2个零点，故P₁为真命题；
∵sinx+$\sqrt{3}cosx=2sin（x+\frac{π}{3}）=\sqrt{2}$，∴sin（x+$\frac{π}{3}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵x∈（$\frac{π}{6}$，$\frac{π}{2}$），∴x+$\frac{π}{3}$∈（$\frac{π}{2}，\frac{5π}{6}$），则x+$\frac{π}{3}=\frac{3}{4}π$，即x=$\frac{5π}{12}$，故P₂为真命题；
P₃为真命题．用反证法证明如下：
假设a、b、c、d没有1个为负数，即a≥0、b≥0、c≥0、d≥0，∴ad+bc≥0，
∵a+b=c+d=2，∴（a+b）（c+d）=ac+bd+ad+bc=4，
∵ac+bd＞4，∴ad+bc＜0，这与ad+bc≥0矛盾，故P₃为真命题．
∴正确命题的个数是3个．
故选：D．

点评 本题考查命题的真假判断与应用，考查函数零点个数的判定方法，训练了利用反证法证明不等式，是中档题．