Question

1．已知点O是锐角△ABC的外心，AB=8，AC=12，A=$\frac{π}{3}$．若$\overrightarrow{AO}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$，则6x+9y=（　　）

• A． 6
• B． 5
• C． 4
• D． 3

Answer 1

分析 根据题意，过点O分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E，计算$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AC}$和$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$的值，再根据$\overrightarrow{AO}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$，列出方程组求出x与y的值，即可求出答案．

解答 解：如图所示，
过点O分别作OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分别为D，E；
则D，E分别为AB，AC的中点，
∴$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AB}$=$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{AB}}^{2}$=$\frac{1}{2}$×8²=32，
$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AC}$=$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{AC}}^{2}$=$\frac{1}{2}$×12²=72；
又A=$\frac{π}{3}$，
∴$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=8×12×cos$\frac{π}{3}$=48，
∵$\overrightarrow{AO}$=x$\overrightarrow{AB}$+y$\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AB}$=x${\overrightarrow{AB}}^{2}$+y$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$，
$\overrightarrow{AO}$•$\overrightarrow{AC}$=x$\overrightarrow{AC}$•$\overrightarrow{AB}$+y${\overrightarrow{AC}}^{2}$，
化为32=64x+48y①，72=48x+144y②，
联立①②解得x=$\frac{1}{6}$，y=$\frac{4}{9}$；
∴6x+9y=5．
故选：B．

点评 本题考查了向量数量积运算性质、三角形外心性质、垂经定理，考查了推理能力与计算能力，是综合性题目．