Question

11．已知圆 C：（x-a）²+（y-2）²=4（a＞0），若倾斜角为45°的直线l过抛物线y²=-12x 的焦点，且直线l被圆C截得的弦长为2$\sqrt{3}$，则a等于（　　）

• A． $\sqrt{2}$+1
• B． $\sqrt{2}$
• C． 2±$\sqrt{2}$
• D． $\sqrt{2}$-1

Answer 1

分析 由抛物线的焦点坐标求出直线方程，再求出圆的圆心的半径，利用点到直线的距离公式半径以及圆心到直线的距离关系，由此能求出a．

解答 解：∵抛物线y²=-12x的焦点F（-3，0），
∴过抛物线y²=-12x的焦点且倾斜角为45°的直线方程为：
y=tan45°（x+3），即x-y+3=0，
∵圆 C：（x-a）²+（y-2）²=4（a＞0），的圆心（a，2），半径r=2，
∴圆心到直线x-y+3=0的距离：
d=$\frac{|a+1|}{\sqrt{2}}$，
∴弦长L=2$\sqrt{3}$．可得：$\frac{（a+1）^{2}}{2}+3=4$，
解得a=$\sqrt{2}$-1或a=-1-$\sqrt{2}$舍去．
故选：D．

点评 本题考查直线与圆相交的弦长的求法，是中档题，解题时要注意抛物线、圆、直线方程、点到直线距离公式等知识点的灵活运用．