Question

13．已知椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），其长轴长为4且离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，在椭圆C₁上任取一点P，过点P作圆C₂：x²+（y+3）²=2的两条切线PM，PN，切点分别为M，N，则$\overrightarrow{{C}_{2}M}$•$\overrightarrow{{C}_{2}N}$的最小值为（　　）

• A． -2
• B． -$\frac{3}{2}$
• C． -$\frac{18}{13}$
• D． 0

Answer 1

分析 由椭圆C₁的长轴长为4且离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，可得2a=4，$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，解得a，b，可得椭圆C₁的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．不妨设∠MC₂N=2θ，由对称性可得：∠PC₂M=∠PC₂N=θ，可得$\overrightarrow{{C}_{2}M}$•$\overrightarrow{{C}_{2}N}$=4cos²θ-2=$\frac{8}{|P{C}_{2}{|}^{2}}$-2，再设点P（x，y），可得x²=4-4y²，点C₂（0，-3），$|P{C}_{2}{|}^{2}$=-3（y-1）²+16，可得$|P{C}_{2}{|}^{2}$的最大值为16．即可得出$\overrightarrow{{C}_{2}M}$•$\overrightarrow{{C}_{2}N}$的最小值．

解答 解：由椭圆C₁：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），其长轴长为4且离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴2a=4，$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，a²=b²+c²，解得a=2，b=1，
∴椭圆C₁的标准方程为：$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1．
不妨设∠MC₂N=2θ，由对称性可得：∠PC₂M=∠PC₂N=θ，
则$\overrightarrow{{C}_{2}M}$•$\overrightarrow{{C}_{2}N}$=$|\overrightarrow{{C}_{2}M}|$|C₂N|cos∠MC₂N=$\sqrt{2}×\sqrt{2}cos2θ$=2（2cos²θ-1）
=4cos²θ-2=$4×（\frac{\sqrt{2}}{|P{C}_{2}|}）^{2}$-2=$\frac{8}{|P{C}_{2}{|}^{2}}$-2，
再设点P（x，y），则$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1，可得x²=4-4y²，点C₂（0，-3），
$|P{C}_{2}{|}^{2}$=x²+（y+3）²=4-4y²+y²+6y+9=-3（y-1）²+16，
∵-1≤y≤1，∴当y=1时，$|P{C}_{2}{|}^{2}$的最大值为16．
因此$\overrightarrow{{C}_{2}M}$•$\overrightarrow{{C}_{2}N}$的最小值为$\frac{8}{16}$-2=-$\frac{3}{2}$，
故选：B．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、圆的标准方程及其性质、圆的切线的性质、数量积运算性质、两点之间的距离公式、二次函数的性质，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于难题．