题目内容
已知双曲线C：
-
=1（a＞0，b＞0），右顶点是A，若双曲线C右支上存在两点B、C，使△ABC为正三角形，则双曲线C的离心率e的取值范围是 ．
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| b2 |
考点：双曲线的简单性质
专题：圆锥曲线的定义、性质与方程
分析：要使该双曲线右支上存在两点B，C使得△ABC为正三角形，则需过右顶点A，且斜率为
的直线与双曲线有两个不同的交点，也只需其斜率大于渐近线y=
x的斜率，再由离心率公式从而得解．
| ||
| 3 |
| b |
| a |
解答：
解：由题意，双曲线的渐近线方程为y=±
x，
要使该双曲线右支上存在两点B，C使得△ABC为正三角形，
则需过右顶点A，且斜率为
的直线与双曲线有两个不同的交点，
也只需其斜率大于渐近线y=
x的斜率．
∴
＞
，∴b＜
a，
即b2＜
a2，
即有c2＜a2+
a2，
即为c＜
a，
即有1＜e＜
．
故答案为：（1，
）．
| b |
| a |
要使该双曲线右支上存在两点B，C使得△ABC为正三角形，
则需过右顶点A，且斜率为
| ||
| 3 |
也只需其斜率大于渐近线y=
| b |
| a |
∴
| ||
| 3 |
| b |
| a |
| ||
| 3 |
即b2＜
| 1 |
| 3 |
即有c2＜a2+
| 1 |
| 3 |
即为c＜
2
| ||
| 3 |
即有1＜e＜
2
| ||
| 3 |
故答案为：（1，
2
| ||
| 3 |
点评：本题以双曲线为载体，考查双曲线的渐近线和离心率的范围，考查直线与双曲线的交点，解题的关键是将问题转化为过右顶点A，且斜率为
的直线与双曲线有两个不同的交点．
| ||
| 3 |
练习册系列答案
相关题目
“x＜1”是“log2（x+1）＜1”的（ ）
| A、充分而不必要条件 |
| B、必要而不充分条件 |
| C、充要条件 |
| D、既不充分也不必要条件 |
