Question

求证：sin²α+cosαcos（

π

3

+α）-sin²（

π

6

-α）的值是与α无关的定值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值

分析：直接根据三角函数的恒等变换进行变形，利用三角函数的诱导关系变换，注意“方变倍”思想的灵活应用．

解答： 证明：sin²α+cosαcos（

π

3

+α）-sin²（

π

6

-α）
=

1-cos2α

2

-

1-cos( π 3 -2α)

2

+cosαcos(

π

3

+α)
=

cos2αcos π 3 +sin2αsin π 3

2

-

cos2α

2

+cosαcos(

π

3

+α)
=

cos2α

4

+

3 sin2α

4

-

cos2α

2

+cosα（cos

π

3

cosα-sin

π

3

sinα)
=

3 sin2α

4

-

cos2α

4

+

1

2

cos2α-

3 sinαcosα

2

=

3 sin2α

4

-

cos2α

4

+

1

2

•

1+cos2α

2

-

3 sin2α

4

=

1

4

所以：sin²α+cosαcos（

π

3

+α）-sin²（

π

6

-α）的值是与α无关的定值．

点评：本题考查的知识要点：三角函数函数关系是的恒等变换，三角函数“方变倍”思想的应用．属于基础题型．