Question

8．对于定义在R上的函数f（x）满足两个条件：
①当x∈[0，1]时，f（0）=0，f（1）=e，f（x）-f′（x）＜0；
②e^x-1f（x+1）=e^x+1f（x-1），e^1-xf（x+1）=e^x+1f（1-x），
若函数y=f（x）-kxe^x零点有2016个，则实数k的取值范围为（　　）

• A． （$\frac{1}{2017}$，$\frac{1}{2015}$）
• B． （$\frac{1}{2016}$，$\frac{1}{2014}$）
• C． （-$\frac{1}{2015}$，-$\frac{1}{2017}$）∪（$\frac{1}{2017}$，$\frac{1}{2015}$）
• D． （-$\frac{1}{2014}$，$\frac{1}{2016}$）∪（$\frac{1}{2016}$，$\frac{1}{2014}$）

Answer 1

分析 构造函数h（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，根据条件得到h（x）的一个周期为2，再根据导数得到函数h（x）在[0，1]上单调递增，利用数形结合的思想得到当k∈（$\frac{1}{2007}$，$\frac{1}{2005}$）函数y=f（x）-kxe^x零点有2016个，同理可求k∈（-$\frac{1}{2005}$，-$\frac{1}{2007}$）时，也满足，问题得以解决．

解答 解：由题意设函数h（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，
∵$\frac{f（x+1）}{{e}^{x+1}}$=$\frac{f（1-x）}{{e}^{1-x}}$，
即h（1+x）=h（1-x），
∴h（x）的图象关于直线x=1对称，
∵e^x-1f（x+1）=e^x+1f（x-1），
∴h（x+1）=h（x-1），
即h（x）的一个周期为2，
又∵h′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$＞0，
∴h（x）在[0，1]上单调递增，
∴h（0）=0，h（1）=1，
又函数y=f（x）-kxe^x零点的个数即为方程f（x）-kxe^x=0的根的个数，
∴h（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$=kx，
画出h（x）的模拟图象和y=kx的图象，分析可知，
当k∈（$\frac{1}{2007}$，$\frac{1}{2005}$）每个周期内h（x），kx的图象有2个交点，共有1008个周期，
函数y=f（x）-kxe^x零点有2016个，
同理当k∈（-$\frac{1}{2005}$，-$\frac{1}{2007}$）时，
函数y=f（x）-kxe^x零点也有2016个，
综上所述，k∈（-$\frac{1}{2015}$，-$\frac{1}{2017}$）∪（$\frac{1}{2017}$，$\frac{1}{2015}$），
故选：C．

点评 本题主要考查函数的零点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质．