Question

1．若△ABC的三个内角A，B，C满足A+C=2B，且最大边为最小边的2倍，求该三角形三个内角之比．

Answer 1

分析 由三角形内角和定理求出B=60°，即角B不是最大和最小边；设最大边为a，最小边为c，得a=2c，利用正弦定理，求出A、C的值，即得三内角之比．

解答 解：△ABC的三个内角A，B，C满足2B=A+C，
且A+B+C=180°，
∴B=60°，A+C=120°；
不妨设a为最大边，则c为最小边，即a=2c，
由正弦定理得：$\frac{a}{sinA}$=$\frac{b}{sinB}$，
即$\frac{2c}{sin（120°-C）}$=$\frac{c}{sinC}$，
∴sin120°cosC-cos120°sinC=2sinC，
化简得sinC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$cosC，
即tanC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$；
∴C=30°，A=90°，
∴A：B：C=90°：60°：30°=3：2：1；
即三内角之比为3：2：1．

点评 本题考查了正弦定理的应用问题，解题的关键是找出三角形的最大边和最小边，是基础题．