Question

6．已知数列{a_n}的前n项和S_n=a²ⁿ-1（a≠0，±1，n∈N*），试判断{a_n}是否为等比数列，为什么？

Answer 1

分析 根据题意和${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$求出a_n，再化简$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$后，利用等比数列的定义进行判断即可．

解答 解：数列{a_n}是等比数列，理由如下：
由题意知，数列{a_n}的前n项和S_n=a²ⁿ-1（a≠0，±1，n∈N*），
当n=1时，a₁=S₁=a²-1≠0，
当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=（a²ⁿ-1）-[a^2（n-1）-1]
=a²ⁿ-a^2n-2=（a²-1）•a^2n-2=$\frac{{a}^{2}-1}{{a}^{2}}•{a}^{2n}$，
当n=1时，也满足上式，所以${a}_{n}=\frac{{a}^{2}-1}{{a}^{2}}•{a}^{2n}$，
则$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{{a}^{2n+2}}{{a}^{2n}}$=a²≠0，
所以数列{a_n}是以a²为公比、（a²-1）为首项的等比数列．

点评 本题考查等比数列的证明方法：定义法，以及关系式${a}_{n}=\left\{\begin{array}{l}{{S}_{1}，n=1}\\{{S}_{n}-{S}_{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$的应用，属于中档题．