题目内容
17．设n∈N*且sinx+cosx=-1，请归纳猜测sinnx+cosnx的值．（先观察n=1，2，3，4时的值，归纳猜测sinnx+cosnx的值，不必证明．）分析 先观察n=1，2，3，4时的值，再归纳猜测sinnx+cosnx的值．
解答 解：当n=1时，有sinx+cosx=-1；
当n=2时，有sin2x+cos2x=1；
当n=3时，有sin3x+cos3x=（sin2x+cos2x）（sinx+cosx）-sinxcosx（sinx+cosx）
注意到（sinx+cosx）2=（-1）2
∴sin2x+2sinxcosx+cos2x=1
∴sinxcosx=0
代入前式得sin3x+cos3x=1•（-1）-0•（-1）=-1．
当n=4时，sin4x+cos4x=（sin3x+cos3x）（sinx+cosx）-sinxcosx（sin2x+cos2x）=（-1）2-0×1=1
由以上我们可以猜测，当n∈N+时，可能有sinnx+cosnx=（-1）n成立．
点评 本题考查了归纳推理，培养学生分析问题的能力，比较基础．
练习册系列答案
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| B． | 当n=2时，f（2）=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$；f（k+1）比f（k）多了2k+1项 | |
| C． | 当n=2时，f（2）=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$；f（k+1）比f（k）多了k项 | |
| D． | 当n=2时，f（2）=$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{4}$；f（k+1）比f（k）多了2k项 |
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