Question

4．已知数列{a_n}满足a₁=3，a_n+1=2a_n-n+1，数列{b_n}满足b₁=2，b_n+1=b_n+a_n-n．
（1）证明：{a_n-n}为等比数列；
（2）数列{c_n}满足${c_n}=\frac{{{a_n}-n}}{{（{b_n}+1）（{b_{n+1}}+1）}}$，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）由a_n+1=2a_n-n+1，变形为a_n+1-（n+1）=2（a_n-n），即可证明．
（2）由${a_n}-n=（{a_1}-1）•{2^{n-1}}={2^n}$，可得${b_{n+1}}={b_n}-n+{a_n}，且{a_n}-n={2^n}$，${b_{n+1}}-{b_n}={2^n}$，利用累加求和方法可得b_n，再利用“裂项求和”方法即可得出．

解答 （1）证明：∵a_n+1=2a_n-n+1，∴a_n+1-（n+1）=2（a_n-n），
又因为a₁-1=2，所以{a_n-n}是以2为首项，2为公比的等比数列．
（2）解：∵${a_n}-n=（{a_1}-1）•{2^{n-1}}={2^n}$，
∵${b_{n+1}}={b_n}-n+{a_n}，且{a_n}-n={2^n}$，
∴${b_{n+1}}-{b_n}={2^n}$，
$\left\{\begin{array}{l}{b_2}-{b_1}={2^1}\\{b_3}-{b_2}={2^2}\\…\\{b_n}-{b_{n-1}}={2^{n-1}}\end{array}\right.$
累加求和得到${b_n}=2+\frac{{2•（1-{2^{n-1}}）}}{1-2}={2^n}（n≥2）$，
当n=1时，b₁=2，∴${b_n}={2^n}$．
∴${c_n}=\frac{{{a_n}-n}}{{（{b_n}+1）（{b_{n+1}}+1）}}=\frac{2^n}{{（{2^n}+1）（{2^{n+1}}+1）}}=\frac{1}{{{2^n}+1}}-\frac{1}{{{2^{n+1}}+1}}$，
∴T_n=$（\frac{1}{2+1}-\frac{1}{{2}^{2}+1}）$+$（\frac{1}{{2}^{2}+1}-\frac{1}{{2}^{3}+1}）$+…+$（\frac{1}{{2}^{n}+1}-\frac{1}{{2}^{n+1}+1}）$
=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{{2}^{n+1}+1}$．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式与求和公式、“累加求和”与“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．