Question

设正数数列{a_n}为等比数列，a₂=4，a₄=16．
（1）求

lim

n→∞

lga1+lga2+…lgan

n2

（2）记b_n=2•log₂a_n，证明：对任意的n∈N^*，有

b1+1

b1

•

b2+1

b2

…

bn+1

bn

＞

n+1

成立．

Answer 1

分析：（1）先根据a₂=4，a₄=16求出数列{a_n}的通项公式，然后代入

lim

n→∞

lga1+lga2+…lgan

n2

进行求解即可；
（2）利用数学归纳法进行证明，①当n=1时，不等式成立，②假设当n=k时不等式成立，然后证明当n=k+1时，不等式成立，从而证得结论．

解答：解（1）可知q²=4，又a_n＞0，∴a_n=2ⁿ，∴lga_n=lg2ⁿ=nlg2．

lim

n→∞

lga1+lga2+…lgan

n2

=

lim

n→∞

lg2

(1+2+…n)

n2

=

lim

n→∞

lg2

n(n+1)

2n2

=

lg2

2

（2）①当n=1时，左边=

3

2

，右边=

2

，因为

3

2

＞

2

，所以不等式成立．
②假设当n=k时不等式成立，即

b1+1

b1

•

b2+1

b2

…

bk+1

bk

=

3

2

•

5

4

…

2k+1

2k

＞

k+1

成立．则当n=k+1时，左边=

b1+1

b1

•

b2+1

b2

…

bk+1

bk

•

bk+1+1

bk+1

=

3

2

•

5

4

…

2k+1

2k

•

2k+3

2k+2

＞

k+1

•

2k+3

2k+2

=

(2k+3)2 4(k+1)

=

(k+1)+ 1 4(k+1) +1

＞

(k+1)+1

所以当n=k+1时，不等式也成立．由①、②可得不等式恒成立．

点评：本题主要考查了数列与不等式的综合，以及等差数列求和和利用数学归纳法证明不等式，属于中档题．