Question

如图，已知四棱锥，底面为菱形，

平面，，分别是的中点．

（1）证明：；

（2）若为上的动点，与平面所成最大角的正切值为，求二面角的余弦值．

 

 

Answer 1

(1）详见解析;(2）.

【解析】

试题分析：（1）要证明AE⊥PD，我们可能证明AE⊥面PAD，由已知易得AE⊥PA，我们只要能证明AE⊥AD即可，由于底面ABCD为菱形，故我们可以转化为证明AE⊥BC，由已知易我们不难得到结论．

（2）由EH与平面PAD所成最大角的正切值为，我们分析后可得PA的值，由（1）的结论，我们进而可以证明平面PAC⊥平面ABCD，则过E作EO⊥AC于O，则EO⊥平面PAC，过O作OS⊥AF于S，连接ES，则∠ESO为二面角E-AF-C的平面角，然后我们解三角形ASO，即可求出二面角E-AF-C的余弦值.

（1）证明：由四边形为菱形，，可得为正三角形．

因为为的中点，所以．

又，因此．

因为平面，平面，所以．

而平面，平面且，

所以平面．又平面，

所以． 5分

（2）由（1）知两两垂直，以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，又分别为的中点，所以

，

，

所以． 8分

设平面的一法向量为，

则因此

取，则，

因为，，，所以平面，

故为平面的一法向量．

又，所以． 10分

因为二面角为锐角，所以所求二面角的余弦值为． 12分.

考点：1.平面与平面之间的位置关系；2.空间中直线与直线之间的位置关系.