Question

2．已知函数f（x）在R上的导函数为f′（x），若f（x）＜f′（x）恒成立，且f（0）=2，则不等式f（x）＞2e^x的解集是（　　）

• A． （2，+∞）
• B． （0，+∞）
• C． （-∞，0）
• D． （-∞，2）

Answer 1

分析 造函数g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，利用导数可判断g（x）的单调性，再根据f（0）=2，求得g（0）=2，继而求出答案．

解答 解：∵?x∈R，都有f′（x）＞f（x）成立，
∴f′（x）-f（x）＞0，于是有（$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$）′＞0，
令g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$，则有g（x）在R上单调递增，
∵f（0）=2，∴g（0）=2，
∵不等式f（x）＞2e^x，
∴g（x）＞2=g（0），
∴x＞0，
故选：B．

点评 本题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性，属中档题，解决本题的关键是根据选项及已知条件合理构造函数，利用导数判断函数的单调性．