Question

20．已知函数$f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜\frac{π}{2}，x∈R）$的图象的一部分如图所示．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数y=f（x）+f（x+2）在[-3，1]上的增区间及值域．

Answer 1

分析 （1）由函数的最值求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，从而得到函数的解析式．
（2）利用两角和差的正弦公式化简函数y=f（x）+f（x+2）的解析式为 2$\sqrt{2}$cos$\frac{π}{4}$x，由此求得函数的在[-3，1]上的增区间及值域．

解答 解：（1）由图象，知A=2，$\frac{2π}{ω}$=8，
∴ω=$\frac{π}{4}$，可得f（x）=2sin（$\frac{π}{4}$x+φ），
当x=1时，有$\frac{π}{4}$×1+φ=$\frac{π}{2}$，
∴φ=$\frac{π}{4}$，
∴f（x）=2sin（$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{4}$）．
（2）y=2sin（$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{4}$）+2sin[$\frac{π}{4}$（x+2）+$\frac{π}{4}$]
=2sin（$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{4}$）+2cos（$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{4}$）
=2$\sqrt{2}$sin（$\frac{π}{4}$x+$\frac{π}{2}$）
=2$\sqrt{2}$cos$\frac{π}{4}$x，
∴函数在[-3，0]递增，
x=0时，y最大，最大值是2$\sqrt{2}$，
x=-3时，y最小，最小值是-2，
故函数的值域是[-2，2$\sqrt{2}$]．

点评 本题主要考查利用y=Asin（ωx+φ）的图象特征，由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，两角和差的正弦公式的应用，属于中档题．