Question

某中学从高中三个年级选派4名教师和20名学生去当文明交通宣传志愿者，20名学生的名额分配为高一12人，高二6人，高三2人．
（Ⅰ）若从20名学生中选出3人做为组长，求他们中恰好有1人是高一年级学生的概率；
（Ⅱ）若将4名教师随机安排到三个年级（假设每名教师加入各年级是等可能的，且各位教师的选择是相互独立的），记安排到高一年级的教师人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,等可能事件的概率,排列、组合及简单计数问题

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）利用古典概型概率计算公式能求出从20名学生中选出3人做为组长，恰好有1人是高一年级学生的概率．
（Ⅱ）X的所有取为0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出随机变量X的分布列和数学期望．

解答： 解：（Ⅰ）设“他们中恰好有1人是高一年级学生”为事件A，
则P（A）=

C 1 12 C 2 8

C 3 20

=

28

95

．
∴从20名学生中选出3人做为组长，恰好有1人是高一年级学生的概率为

28

95

．
（Ⅱ）X的所有取为0，1，2，3，4，
P（X=0）=

C

0 4

(

2

3

)4=

16

81

，
P（X=1）=

C

1 4

(

1

3

)(

2

3

)3=

32

81

，
P（X=2）=

C

2 4

(

1

3

)2(

2

3

)2=

24

81

，
P（X=3）=

C

3 4

(

1

3

)3(

2

3

)=

8

81

，
P（X=4）=

C

4 4

(

1

3

)4=

1

81

．
∴X的分布列为：

X	0	1	2	3	4
P	16 81	32 81	24 81	8 81	1 81

∴EX=0×

16

81

+1×

32

81

+2×

24

81

+3×

8

81

+4×

1

81

=

4

3

．

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题．