Question

7．已知函数f（x）=x³-2ax²+bx，
（Ⅰ）f（x）在点P（1，3）处的切线为y=x+2，求a，b的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下求f（x）在[-1，4]上的值域．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函数的导函数，由已知可得f′（1）=1，f（1）=3，联立方程组求得a，b的值；
（Ⅱ）把a，b的值代入f（x），由导函数的零点把函数的定义域分段，由导函数的符号得到原函数的单调性，利用单调性求得最值．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=3x²-4ax+b，…（2分）
∵f（x）在P（1，3）处的切线为y=x+2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=3-4a+b=1}\\{f（1）=1-2a+b=3}\end{array}\right.$，…（4分）
解得：a=2，b=6；…（6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=3${x}^{2}-8x+6=3（x-\frac{4}{3}）^{2}+\frac{2}{3}$，
f′（x）在[-1，4]上恒大于0，从而f（x）在[-1，4]上单调递增．…（10分）
∴f（x）_min=f（-1）=-11，f（x）_max=f（4）=24．
∴f（x）的值域为[-11，24]．…（12分）

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，曲线在某点处的切线的斜率，就是函数在该点处的导数值，训练了利用导数求函数的最值，是中档题．