Question

20．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f（x）=2^x+1+l．
（1）求f（1）的解析式；
（2）在所给的坐标系内画出函数f（x）的草图，并求方程2f（x）-m-l=0恰有两个不同实根时实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由条件利用函数的奇偶性求函数的解析式．
（2）由题意可得f（x）=$\frac{m+1}{2}$恰有两个不同实根，即函数f（x）的图象和直线y=$\frac{m+1}{2}$恰有两个不同的交点，数形结合可得m的范围．

解答 解：（1）设x＞0，则-x＜0，∵当x≤0时，f（x）=2^x+1+l，
∴f（-x）=2^1-x+1=f（x），∴f（x）=2^1-x+1．
综上可得，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{2}^{x+1}+1，x≤0}\\{{2}^{-x+1}+1，x＞0}\end{array}\right.$
（2）在所给的坐标系内画出函数f（x）的草图，如图所示：
方程2f（x）-m-l=0恰有两个不同实根，即f（x）=$\frac{m+1}{2}$恰有两个不同实根，
即函数f（x）的图象和直线y=$\frac{m+1}{2}$恰有两个不同的交点，
故有1＜$\frac{m+1}{2}$＜3，求得3＜m＜7，即实数m的取值范围为（3，7）．

点评 本题主要考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，方程根的存在性以及个数判断，体现了转化、数形结合的数学思想，属于中档题．