Question

12．甲袋中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙袋中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，分别以A₁，A₂和A₃表示由甲袋取出的球是红球，白球和黑球的事件；再从乙袋中随机取出一球，以B表示由乙袋取出的球是红球的事件．则下列结论①P（B）=$\frac{9}{22}$；②P（B|A₁）=$\frac{2}{5}$；③事件B与事件A₁相互独立；④A₁，A₂，A₃是两两互斥的事件．
其中正确的是①④（写出所有正确结论的编号）．

Answer 1

分析 由题意A₁，A₂，A₃是两两互斥的事件，由条件概率公式求出P（B|A₁），P（B）=P（A₁B）+P（A₂B）+P（A₃B），对照四个命题进行判断找出正确命题，选出正确选项．

解答 解：由题意A₁，A₂，A₃是两两互斥的事件，P（A₁）=$\frac{5}{10}$=$\frac{1}{2}$，P（A₂）=$\frac{2}{10}$=$\frac{1}{5}$，P（A₃）=$\frac{3}{10}$，
P（B|A₁）=$\frac{P（B{A}_{1}）}{P（{A}_{1}）}$=$\frac{\frac{5}{11}×\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}$=$\frac{5}{11}$，
由此知，②错误；
P（B|A₂）=$\frac{4}{11}$，P（B|A₃）=$\frac{4}{11}$；
而P（B）=P（A₁B）+P（A₂B）+P（A₃B）
=P（A₁）P（B|A₁）+P（A₂）P（B|A₂）+P（A₃）P（B|A₃）=
$\frac{1}{2}$×$\frac{5}{11}$+$\frac{1}{5}$×$\frac{4}{11}$+$\frac{3}{10}×\frac{4}{11}$+$\frac{3}{10}×\frac{4}{11}$=$\frac{9}{22}$，
由此知①正确，③错误．
∵A₁，A₂，A₃是两两互斥的事件，由此知④正确；
对照四个命题知①④正确；
故答案为：①④．

点评 本题考查相互独立事件，解题的关键是理解题设中的各个事件，考查相互独立事件的概率简洁公式，条件概率的求法，属于中档题．