Question

19．已知集合A{x|$\frac{2-x}{3+x}$≥0}，B={x|x²-2x-3＜0}，C={x|x²-（2a+1）x+a（a+1）＜0}．
（Ⅰ）求集合A，B及A∪B；
（Ⅱ）若C⊆（A∩B），求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据题意化简求出集合A，集合B．根据集合的基本运算即可求A∪B，
（Ⅱ）先求出A∩B，在根据C⊆（A∩B），建立条件关系即可求实数a的取值范围．

解答 解：（Ⅰ）集合A{x|$\frac{2-x}{3+x}$≥0}，B={x|x²-2x-3＜0}，
C={x|x²-（2a+1）x+a（a+1）＜0}．
∵$\frac{2-x}{3+x}≥0$，即（2-x）（3+x）≥0，
解得：-3＜x≤2，
∴集合A={x|-3＜x≤2}：
又∵x²-2x-3＜0，
解得：-1＜x＜3，
∴集合B={x|-1＜x＜3}：
那么：A∪B={x|-3＜x＜3}．
（Ⅱ） 由（Ⅰ）可得集合A={x|-3＜x≤2}：集合B={x|-1＜x＜3}：
那么：A∩B={x|-1＜x≤2}．
∵x²-（2a+1）x+a（a+1）＜0
∴（x-a）（x-a-1）＜0．
∴集合C={x|a＜x＜a+1}
∵C⊆（A∩B），
∴需满足$\left\{\begin{array}{l}{a≤-1}\\{a+1≤2}\end{array}\right.$，
解得：-1≤a≤1．
所以实数a的取值范围是[-1，1]．

点评 本题主要考查了不等式的计算能力和集合的基本运算，属于中档题．