Question

20．如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC⊥PB，△BCD为等边三角形，PA=BD=$\sqrt{3}$，AB=AD，E为PC的中点．
（1）求AB；
（2）求平面BDE与平面ABP所成二面角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）由题意可得BC⊥平面PAB，进一步得到BC⊥AB，再由△BCD为等边三角形，且AB=AD，可得△ABC≌△ADC，由已知求解直角三角形可得AB；
（2）由（1）知，AC⊥BD，设AC∩BD=O，分别以OC、OD所在直线为x、y轴建立空间直角坐标系．求出平面BDE与平面ABP的一个法向量，再求两个法向量夹角的余弦值，可得平面BDE与平面ABP所成二面角的正弦值．

解答 解：（1）连接AC，
∵PA⊥底面ABCD，BC?平面ABCD，∴PA⊥BC，
又∵BC⊥PB，PB∩PA=P，
∴BC⊥平面PAB，又AB?平面PAB，
∴BC⊥AB．
∵△BCD为等边三角形，AB=AD，
∴△ABC≌△ADC，
∴∠ACB=30°，∠CAB=60°，
又BD=$\sqrt{3}$，∴AB=$\frac{BD}{2sin60°}=\frac{\sqrt{3}}{2×\frac{\sqrt{3}}{2}}=1$；
（2）由（1）知，AC⊥BD，设AC∩BD=O，
分别以OC、OD所在直线为x、y轴建立空间直角坐标系．
则D（0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），B（0，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0），E（$\frac{1}{2}$，0，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），A（$-\frac{1}{2}$，0，0），P（-$\frac{1}{2}$，0，$\sqrt{3}$）．
$\overrightarrow{BE}=（\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}）$，$\overrightarrow{BD}=（0，\sqrt{3}，0）$，$\overrightarrow{BA}=（-\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}，0）$，$\overrightarrow{BP}=（-\frac{1}{2}，\frac{\sqrt{3}}{2}，\sqrt{3}）$．
设平面BDE的一个法向量为$\overrightarrow{m}=（{x}_{1}，{y}_{1}，{z}_{1}）$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BE}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{BD}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{2}{x}_{1}+\frac{\sqrt{3}}{2}{y}_{1}+\frac{\sqrt{3}}{2}{z}_{1}=0}\\{\sqrt{3}{y}_{1}=0}\end{array}\right.$，取${z}_{1}=\sqrt{3}$，则$\overrightarrow{m}=（-3，0，\sqrt{3}）$；
设平面ABP的一个法向量为$\overrightarrow{n}=（{x}_{2}，{y}_{2}，{z}_{2}）$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BA}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BP}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{2}{x}_{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}{y}_{2}=0}\\{-\frac{1}{2}{x}_{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}{y}_{2}+\sqrt{3}{z}_{2}=0}\end{array}\right.$，取${y}_{2}=\sqrt{3}$，则$\overrightarrow{n}=（3，\sqrt{3}，0）$．
∴|cos＜$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$|=|$\frac{-9}{\sqrt{12}×\sqrt{12}}$|=$\frac{3}{4}$．
平面BDE与平面ABP所成二面角的正弦值为$\sqrt{1-（\frac{3}{4}）^{2}}=\frac{\sqrt{7}}{4}$．

点评 本题考查空间中点、线、面间的距离的计算，考查空间想象能力和思维能力，训练了利用空间向量求解二面角的平面角，是中档题．