Question

11．已知曲线${C_1}：{y^2}=tx（y＞0，t＞0）$在点$M（\frac{4}{t}，2）$处的切线${C_2}：y={e^{x+1}}+1$与曲线也相切，则t的值为（　　）

• A． 4e
• B． 4e²
• C． $\frac{e^2}{4}$
• D． $\frac{e}{4}$

Answer 1

分析 求出y=$\sqrt{tx}$的导数，求出斜率，由点斜式方程可得切线的方程，设直线与C₂的切点为（m，n），求出y=e^x+1+1的导数，可得切线的斜率，得到t的方程，解方程可得答案．

解答 解：由曲线C₁：y²=tx（y＞0，t＞0），得y=$\sqrt{tx}$，
y′=$\sqrt{t}•\frac{1}{2\sqrt{x}}$，
∴C₁在点$M（\frac{4}{t}，2）$处的切线斜率为$\sqrt{t}•\frac{1}{2\sqrt{\frac{4}{t}}}=\frac{t}{4}$，
可得切线方程为y-2=$\frac{t}{4}$（x-$\frac{4}{t}$），即y=$\frac{t}{4}$x+1，
设直线与C₂的切点为（m，n），由C₂：y=e^x+1+1，
得y′=e^x+1，∴e^m+1=$\frac{t}{4}$，
∴m=ln$\frac{t}{4}$-1，n=m•$\frac{t}{4}$+1，n=e^m+1+1，
可得（ln$\frac{t}{4}$-1）•$\frac{t}{4}$+1=$\frac{t}{4}$+1，
得t=4e²，
故选：B．

点评 本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查导数的几何意义，正确求导和运用点斜式方程是解题的关键，注意转化思想的合理运用，是中档题．