Question

13．设函数f′（x）是函数f（x）（x∈R）的导函数，若f（x）-f（-x）=2x³，且当x＞0时，f′（x）＞3x²，则不等式f（x）-f（x-1）＞3x²-3x+1的解集为（　　）

• A． （-∞，2）
• B． （${\frac{1}{2}$，+∞）
• C． （-∞，$\frac{1}{2}}$）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 先构造函数令F（x）=f（x）-x³，由题意判断出F（x）的奇偶性和单调性，将不等式转化成f（x）-x³＞f（x-1）-（x-1）³，即F（x）＞F（x-1），由函数单调性可得到|x|＞|x-1|，解得即可．

解答 解：令F（x）=f（x）-x³，F′（x）=f′（x）-3x²，
则由f（x）-f（-x）=2x³，
可得F（-x）=F（x），故F（x）为偶函数，
又当x＞0时，f′（x）＞3x²，即F′（x）＞0，
∴F（x）在（0，+∞）上为增函数．
不等式f（x）-f（x-1）＞3x²-3x+1化为f（x）-x³＞f（x-1）-（x-1）³，
∴F（x）＞F（x-1），
∴由函数单调性可知：|x|＞|x-1|，
解得x＞$\frac{1}{2}$，
故选：B．

点评 本题考查函数的导数的应用，考查函数的对称性、单调性、奇偶性的应用，属于中档题．